গণিতের জটিল হিসাবকে সহজ করতে 'অর্ডার' (Order) নামক একটি বিশেষ চক্রাকার নিয়ম অত্যন্ত কার্যকর। বিশেষ করে বড় কোনো সংখ্যার ঘাত বা পাওয়ারকে নির্দিষ্ট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকে, তা বের করতে এই পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়।
একটি উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি বোঝা সহজ। ধরা যাক, ৩-এর ২০২৬তম ঘাতকে (৩²⁰²⁶) ৭ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা বের করতে হবে। প্রথাগতভাবে এক এক করে ঘাত বাড়িয়ে হিসাব করলে প্রচুর সময়ের প্রয়োজন। তবে অর্ডারের নিয়ম অনুযায়ী, ভাগশেষগুলো একটি নির্দিষ্ট পর্যায় পর পর পুনরাবৃত্তি হয়। যেমন, ৭ মডুলোতে ৩-এর ঘাতগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায়: ৩¹ ≡ ৩, ৩² ≡ ২, ৩³ ≡ ৬, ৩⁴ ≡ ৪, ৩⁵ ≡ ৫ এবং ৩⁶ ≡ ১ (mod ৭)। এখানে ৬ষ্ঠ ধাপে ভাগশেষ '১' পাওয়া গেছে, যা একটি গুরুত্বপূর্ণ মোড়। এরপর ৩⁷-এর ভাগশেষ আবার ১ × ৩ ≡ ৩ হবে। অর্থাৎ প্রতি ৬ পাওয়ার পর চক্রটি পুনরায় শুরু হয়। এই ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে (এখানে ৬) বলা হয় ৭ মডুলোতে ৩-এর অর্ডার, যাকে লেখা হয় ord₇(৩) = ৬।
এই অর্ডারের জ্ঞান থাকলে ২০২৬-তম ঘাতের হিসাব খুব দ্রুত করা সম্ভব। ২০২৬-কে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩৩৭ এবং অবশিষ্ট থাকে ৪। ফলে ৩²⁰²⁶ ≡ ৩⁴ ≡ ৪ (mod ৭)। অর্থাৎ ভাগশেষ হবে ৪।
অর্ডারের তিনটি মূল বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান। প্রথমত, যদি aᵏ ≡ ১ (mod n) হয়, তবে k অবশ্যই অর্ডার d দ্বারা বিভাজ্য হবে। দ্বিতীয়ত, অয়লারের টোশেন্ট থিওরেম (Euler’s Totient Theorem) অনুযায়ী, যেকোনো সংখ্যার অর্ডার সর্বদা φ(n)-এর একটি উৎপাদক হয়। তৃতীয়ত, ax ≡ ay (mod n) হতে হলে (x-y)-কে অবশ্যই অর্ডারের গুণিতক হতে হবে।
এই পদ্ধতি ব্যবহার করে জটিল গাণিতিক প্রমাণও করা সম্ভব। যেমন, যদি ২ⁿ + ১ একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে n-কে অবশ্যই ২-এর কোনো ঘাত (n = ২ᵏ) হতে হবে। এই প্রমাণটি অর্ডারের মাধ্যমে সহজভাবে করা যায়। যদি ২ⁿ + ১ = p হয়, তবে ২ⁿ ≡ -১ (mod p)। উভয় পক্ষকে বর্গ করলে পাওয়া যায় ২²ⁿ ≡ ১ (mod p)। এর অর্থ হলো ২-এর অর্ডার d অবশ্যই ২ⁿ-কে ভাগ করবে, কিন্তু n-কে ভাগ করবে না। এই যুক্তি থেকে প্রমাণিত হয় যে n অবশ্যই ২-এর পাওয়ার হতে বাধ্য।
শিক্ষার্থীদের অনুশীলনের জন্য কিছু সমস্যা দেওয়া হয়েছে। যেমন: যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য ৫ⁿ + ২ × ৩ⁿ⁻¹ + ১ সংখ্যাটি সর্বদা ৮ দ্বারা বিভাজ্য কি না তা প্রমাণ করা, অথবা এমন সব মৌলিক সংখ্যা p খুঁজে বের করা যেন ২ᵖ + ১ সংখ্যাটি p দ্বারা বিভাজ্য হয়। এছাড়া n > ১ শর্তে (২ⁿ + ১)/n² একটি পূর্ণসংখ্যা হওয়ার শর্ত নির্ণয়ের চ্যালেঞ্জ দেওয়া হয়েছে। বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটির সহযোগিতায় এই গাণিতিক আলোচনাটি সাজানো হয়েছে।
