একই মাপের ৪৯টি দুধের বোতলকে একটি বর্গাকার বাক্সে রাখার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো ৭টি সারিতে ৭টি করে বোতল সাজানো। এতে বাক্সের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হয় ঠিক ৭ একক। কিন্তু গণিতবিদরা দেখিয়েছেন, বোতলগুলোকে একটু ভিন্নভাবে সাজালে এর চেয়েও ছোট একটি বর্গাকার বাক্সে এদের রাখা সম্ভব। এই আবিষ্কারটি ১৯৯৭ সালে করেছিলেন গবেষক কে. জে. নুরমেলা এবং পি. আর. জে. অস্টারগার্ড। তাদের দেখানো নতুন বিন্যাসে বাক্সের আকারের পার্থক্য এতটাই সূক্ষ্ম যে খালি চোখে তা বোঝা যায় না।
এই ফলাফলটি গণিতবিদ জি. ওয়েঙ্গারডটের একটি পুরোনো ধারণাকে ভুল প্রমাণ করে। ওয়েঙ্গারডট আগেই প্রমাণ করেছিলেন যে ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫ এবং ৩৬টি বৃত্তের ক্ষেত্রে বর্গাকারে সাজানোই সবচেয়ে ভালো। তিনি অনুমান করেছিলেন, ৪৯টি বৃত্তের ক্ষেত্রেও একই নিয়ম প্রযোজ্য হবে, কিন্তু নুরমেলা ও অস্টারগার্ডের কাজ তা খণ্ডন করে। ৬৪, ৮১ বা এর চেয়ে বড় বর্গসংখ্যার ক্ষেত্রে এই নিয়ম সবসময় খাটে না বলেও জানা যায়।
একটি অসীম সমতলে বৃত্ত সাজানোর ক্ষেত্রে বর্গাকার কাঠামোর চেয়ে ষড়ভুজাকার কাঠামো অনেক বেশি ঘনভাবে বৃত্ত সাজাতে পারে। পুল খেলার শুরুতে বলগুলো যেভাবে সাজানো থাকে, সেটি এর একটি উদাহরণ। কিন্তু বর্গাকার বাক্সের চারকোনা সীমানার কারণে বৃত্তগুলো পুরোপুরি নিখুঁত ষড়ভুজাকার কাঠামো তৈরি করতে পারে না। ফলে অল্প সংখ্যক বৃত্তের ক্ষেত্রে বর্গাকারে সাজানোই সর্বোত্তম হয়ে ওঠে। বৃত্তের সংখ্যা বাড়তে থাকলে সীমানার প্রভাব কমতে থাকে এবং ষড়ভুজাকার কাঠামোর কাছাকাছি কোনো প্যাটার্নে সাজালে বেশি বৃত্ত আঁটানো সম্ভব হয়।
নেদারল্যান্ডসের গণিতবিদ হ্যান্স মেলিসেন ১৯৯৭ সালের ডিসেম্বরে ইউট্রেখট বিশ্ববিদ্যালয়ে 'প্যাকিং অ্যান্ড কভারিং উইথ সার্কেলস' শিরোনামে ডক্টরেট থিসিস জমা দেন। এই বিষয়ে এটি সম্ভবত সবচেয়ে পূর্ণাঙ্গ কাজ হিসেবে বিবেচিত হয়। ১৯৬০ সালে লিও মোজার প্রথম ৮টি বৃত্তের জন্য একটি সমাধানের ধারণা দেন, যা দ্রুত সঠিক বলে প্রমাণিত হয়। এরপর ১৯৬৫ সালে জে. শায়ার ৯টি পর্যন্ত বৃত্তের সমাধান প্রকাশ করেন এবং ৬টি বৃত্তের সমাধানের কৃতিত্ব দেন বেল ল্যাবসের রন গ্রাহামকে।
গণিতবিদরা সমস্যাটিকে সাধারণত বিন্দু স্থাপনের মাধ্যমে চিন্তা করেন। বৃত্তের কেন্দ্রগুলোকে বিন্দু ধরে নিলে, সমস্যাটি দাঁড়ায় একটি নির্দিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ভেতর ৪৯টি বিন্দু এমনভাবে স্থাপন করা যাতে যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব সবচেয়ে বেশি হয়। এই পদ্ধতিতে ২০টি পর্যন্ত বিন্দুর জন্য সেরা প্যাটার্নগুলো গাণিতিকভাবে নিখুঁত প্রমাণিত। মজার বিষয় হলো, ১৭টি বিন্দুর জন্য দুটি আলাদা প্যাটার্ন রয়েছে।
বৃত্তাকার জায়গার ভেতর বিন্দু সাজানোর সমস্যা নিয়েও গবেষণা হয়েছে। ১৯৬৩ সালে বি. এল. জে. ব্রাক্সমার প্রথম এ বিষয়ে লেখেন এবং ৮টি বিন্দুর জন্য একটি সেরা প্যাটার্নের ধারণা দেন। বৃত্তের ভেতর বিন্দু সাজানোর ক্ষেত্রে এখন পর্যন্ত ১১টি বা তার চেয়ে কম বিন্দুর নিখুঁত সমাধান জানা গেছে। ১১টি বিন্দুর প্রমাণ প্রথম দিয়েছিলেন হ্যান্স মেলিসেন, যিনি বৃত্তটাকে ছোট ছোট অঞ্চলে ভাগ করে দেখিয়েছিলেন যে অন্তত ৮টি বিন্দুকে বৃত্তের সীমানায় থাকতে হবে।
সমবাহু ত্রিভুজের ভেতর বৃত্ত সাজানোর বিষয়টিও মজার, কারণ এর সীমানার সঙ্গে ষড়ভুজাকার কাঠামোর মিল রয়েছে। ১৮৯২ সালে অ্যাক্সেল থু দেখান, অসীম সমতলে বৃত্ত সাজানোর জন্য ষড়ভুজাকার প্যাটার্নই সবচেয়ে সেরা। ১৯৩০ সালে ডাচ উদ্ভিদবিজ্ঞানী পি. এম. এল. টামস একটি গোলকের পৃষ্ঠে বৃত্ত সাজানোর সেরা উপায় জানতে চেয়েছিলেন। মেলিসেন অর্ধগোলকের উপর ৬টি বা তার কম বিন্দুর জন্য নিখুঁত ফলাফল প্রমাণ করেছেন।
পদার্থবিজ্ঞানেও এই সমস্যার ব্যবহার রয়েছে। ১৯৮৫ সালে এ. এ. বেরেজিন নেচার পত্রিকায় একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন, যেখানে একটি গোল চাকতির ভেতর একই ধরনের বৈদ্যুতিক চার্জযুক্ত কণাগুলোর এমন অবস্থান নিয়ে আলোচনা করা হয়, যেখানে তাদের মোট শক্তি সবচেয়ে কম থাকে। তখনকার সাধারণ ধারণা ছিল যে কণাগুলো একে অপরকে বিকর্ষণ করে চাকতির কিনারে চলে যাবে। কিন্তু বেরেজিনের কম্পিউটার হিসাবে দেখা যায়, ১২ থেকে ৪০০টি চার্জের ক্ষেত্রে একটি চার্জ কেন্দ্রে রেখে বাকিগুলো সীমানায় রাখলে মোট শক্তি কম হয়। এই দ্বন্দ্বের সমাধান হয় পদার্থবিজ্ঞানের সাহায্যেই, কারণ বাস্তব জগতে পুরোপুরি পাতলা চাকতি বলে কিছু নেই।
