জ্যামিতির ইতিহাসে একটি অত্যন্ত জনপ্রিয় ও প্রাচীন ধাঁধা হলো কেবল একটি রুলার (যেটিতে কোনো পরিমাপের দাগ নেই) এবং একটি কম্পাস ব্যবহার করে যেকোনো কোণকে সমান তিন ভাগে ভাগ করা সম্ভব কি না। দীর্ঘ সময় ধরে গণিতবিদরা এই চেষ্টা করলেও ব্যর্থ হন। অবশেষে ঊনবিংশ শতাব্দীতে বীজগণিতের মাধ্যমে এটি প্রমাণিত হয় যে, সাধারণ রুলার ও কম্পাস দিয়ে যেকোনো কোণের ত্রিখণ্ডন করা প্রকৃতপক্ষে অসম্ভব।
এই অসম্ভবতার মূল কারণ হলো রুলার ও কম্পাসের জ্যামিতিক সীমাবদ্ধতা। যখন আমরা রুলার দিয়ে সরলরেখা টানি বা কম্পাস দিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করি, তখন আমরা মূলত সরলরৈখিক বা সর্বোচ্চ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করি। এর ফলে আমরা কেবল যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ এবং বর্গমূলের মাধ্যমে প্রাপ্ত মান বা 'কনস্ট্রাক্টিবল নাম্বার' তৈরি করতে পারি। বর্গমূলের পর চতুর্থ মূল বা যেকোনো ২ⁿ তম মূল বের করা সম্ভব হলেও, ৩ কোনোভাবেই ২-এর ঘাত নয়। ফলে এই টুলসগুলো দিয়ে কোনো ঘনমূল বা ত্রিঘাত সমীকরণ সমাধান করা সম্ভব হয় না।
ত্রিকোণমিতির সূত্র অনুযায়ী, কোনো কোণ θ-কে ত্রিখণ্ডিত করতে হলে cos(θ/3)-এর মান বের করতে হয়। এর জন্য ব্যবহৃত হয় একটি বহুপদী সমীকরণ: 4x³ - 3x - a = 0 (যেখানে x = cos(θ/3) এবং a = cosθ)। এখানে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত ৩, যা একটি ত্রিঘাত সমীকরণ। উদাহরণস্বরূপ, ৬০ ডিগ্রি কোণকে ২০ ডিগ্রিতে ভাগ করতে গেলে এমন একটি সমীকরণ তৈরি হয় যা মূলদ সংখ্যার ওপর 'অভেদ্য' বা Irreducible। এটি সমাধান করতে হলে ঘনমূলের প্রয়োজন হয়, যা কম্পাস দিয়ে করা সম্ভব নয়। তবে ৯০ ডিগ্রির মতো কিছু বিশেষ কোণের ক্ষেত্রে এই ত্রিঘাত সমীকরণটি ভেঙে সরলরৈখিক বা দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তরিত হয়, তাই সেগুলো ত্রিখণ্ডিত করা সহজ হয়।
তবে প্রচলিত রুলার-কম্পাসের সীমাবদ্ধতা কাটিয়ে কিছু বিকল্প পদ্ধতি রয়েছে। গ্রিক গণিতবিদ আর্কিমিডিস 'নিউসিস অঙ্কন' পদ্ধতির কথা বলেছিলেন, যেখানে স্কেলে দুটি দাগ কেটে ঘনমূল বের করা সম্ভব। এছাড়া জাপানি অরিগ্যামির জ্যামিতিক নিয়ম (Huzita–Hatori axioms) ব্যবহার করে কাগজ ভাঁজ করার মাধ্যমেও যেকোনো ত্রিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায়।
নিউসিস পদ্ধতিতে একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ আঁকার পর, স্কেলের দুটি দাগের দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান রেখে বিশেষ উপায়ে স্থাপন করা হয়। স্কেলটিকে এমনভাবে ঘোরানো এবং স্লাইড করা হয় যাতে এর একটি প্রান্ত বৃত্তের পরিধিতে এবং অন্যটি বর্ধিত রেখার ওপর থাকে। এই প্রক্রিয়ায় 'কনকয়েড অব নিকোমিডিস' নামক একটি বক্ররেখা তৈরি হয়, যা যান্ত্রিকভাবে ত্রিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে দেয় এবং মূল কোণের এক-তৃতীয়াংশ মান পাওয়া সম্ভব হয়। এভাবে বীজগণিতের বিশালতা জ্যামিতির সীমাবদ্ধতাকে জয় করে।
