গণিত ইশকুল: সব উৎপাদকের যোগফল নির্ণয়ের সূত্র ও অনুশীলনী

খালেদের বিষণ্ন মুখ দেখে সেদিন সকালে আমি অবাক হয়ে গিয়েছিলাম। কাছে গিয়ে কারণ জিজ্ঞাসা করতেই সে জানাল, অলিম্পিয়াড প্রস্তুতির পরীক্ষায় প্রথম প্রশ্নেই তাকে ১৫৭৫০ সংখ্যাটির সব উৎপাদকের যোগফল বের করতে বলা হয়েছিল। সংখ্যাটি বেশ বড় হওয়ায় সে ধীরে ধীরে উৎপাদকগুলো বের করে যোগ করতে গিয়েই পুরো সময় শেষ হয়ে যায়, আর কোনো প্রশ্নেই হাত দেওয়া সম্ভব হয়নি। শুনে আমি হেসে বলি, আগের পর্বে তো উৎপাদকের ধারণা নিয়ে আলোচনা হয়েছে, সেখান থেকেই তো তুমি একটা শর্টকাট বের করতে পারতে। খালেদ জানায়, সে উৎপাদকের সংখ্যা নয়, বরং যোগফল বের করতে সমস্যায় পড়েছে। তখন আমি তাকে বোঝাই, আসলে একটি সহজ সূত্রের মাধ্যমেই এই কাজটি কয়েক ধাপে সমাধান করা যায়। সূত্রটি এমন—প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। ধরা যাক, N = p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² × ... × pₖᵃᵏ, যেখানে p₁, p₂, ..., pₖ সব ভিন্ন ভিন্ন মৌলিক সংখ্যা। তাহলে সব ধনাত্মক উৎপাদকের যোগফল হবে (p₁⁰ + p₁¹ + ... + p₁ᵃ¹) × (p₂⁰ + p₂¹ + ... + p₂ᵃ²) × ... × (pₖ⁰ + pₖ¹ + ... + pₖᵃᵏ)। অর্থাৎ প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের শূন্যতম ঘাত থেকে সর্বোচ্চ ঘাত পর্যন্ত যোগফলগুলো পরস্পর গুণ করতে হবে। কথায় প্রকাশ করলে এটাই নিয়ম—যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে ভাঙার পর প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সব ঘাতের যোগফল বের করে গুণ করলেই সব উৎপাদকের যোগফল পাওয়া যায়। খালেদকে এভাবে বুঝিয়ে দেওয়ার সময় আমি ভাবলাম, এই সূত্রটি তোমাদেরও কাজে লাগবে, যাতে ভবিষ্যতে খালেদের মতো সময় নষ্ট না হয়। উৎপাদকের ব্যবহার যে শুধু পরীক্ষার খাতায় সীমাবদ্ধ নয়, তা একটু খেয়াল করলেই বোঝা যায়। বাড়ি তৈরির সময় টাইলস বসানোর হিসাব, মেঝেতে সমান বর্গাকার টাইলসের সংখ্যা নির্ধারণ—এসব ক্ষেত্রে উৎপাদকই কাজে লাগে। এমনকি ক্রিপ্টোগ্রাফি বা গোপন তথ্য পাঠানোর পদ্ধতি, কম্পিউটারের ডেটা প্যাকেটিং—সবখানেই উৎপাদকের ভূমিকা রয়েছে। গণিতবিদদের গবেষণাতেও এর ব্যবহার অপরিহার্য। আমাদের দৈনন্দিন জীবনে কতবার উৎপাদক ব্যবহার করছি, একদিন হিসাব করে দেখলে আশ্চর্য হতে হয়। এই পর্বের শেষে গণিত ভাইয়া বেশ কয়েকটি অনুশীলনী প্রশ্ন রেখেছেন। সেগুলোর মধ্যে ১৫৭৫০-এর সব ধনাত্মক উৎপাদকের যোগফল নির্ণয়, ১২ ফুট × ১৮ ফুট ঘরের মেঝেতে সমান বর্গাকার টাইলস বসানোর ক্ষেত্রে বৃহত্তম টাইলসের বাহু ও প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা, এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা যার উৎপাদকের সংখ্যা ৩ ও যোগফল ৩১, N = 2ᵃ × 3ᵇ হলে উৎপাদকের যোগফল ১২০ হলে (a,b)-এর মান, ২৪০ শিক্ষার্থীকে আয়তাকার দলে সাজানোর উপায়, এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যার ৬টি উৎপাদক ও যোগফল ১২৪, এবং N = 2⁴ × 3³ × 5² হলে এমন জোড় প্যাকেটের আকারগুলোর যোগফল যা N-এর উৎপাদক, ১ গিগাবাইটের চেয়ে বড় কিন্তু N-এর চেয়ে ছোট—এসব প্রশ্নের সমাধান করতে হবে। তোমাদের জন্য একটি হোমওয়ার্কও রয়েছে—p₁⁰ + p₁¹ + ... + p₁ᵃ¹-এর মান সহজে বের করার কৌশল নিয়ে ভাবা, যা পরবর্তী পর্বে আলোচনা হবে।