বৃত্তের ছেদক সংক্রান্ত নতুন উপপাদ্য ও গাণিতিক প্রমাণ

গণিত প্রতিযোগিতায় বৃত্তের ছেদক সম্পর্কিত জটিল প্রশ্নগুলোর সহজ সমাধানের লক্ষ্যে একটি নতুন উপপাদ্য আলোচনা করা হয়েছে। এই উপপাদ্যটি প্রমাণের ক্ষেত্রে 'ত্রিভুজে সাইনের সূত্র' ব্যবহার করা হয়েছে। এই সূত্র অনুযায়ী, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু 'a', তার বিপরীত কোণ 'A' এবং পরিব্যাসার্ধ 'R' হলে তাদের মধ্যকার সম্পর্কটি হয়: a / sin A = 2R।

উপপাদ্যটির মূল বক্তব্য হলো—যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং প্রথম বৃত্তের কেন্দ্রটি দ্বিতীয় বৃত্তের পরিধিতে অবস্থান করে, তবে দ্বিতীয় বৃত্তের পরিধির অন্য যেকোনো বিন্দু থেকে ছেদবিন্দুগামী রেখা দুটি প্রথম বৃত্তকে পুনরায় দুটি বিন্দুতে ছেদ করবে। এক্ষেত্রে প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র, দ্বিতীয় বৃত্তের সেই নির্দিষ্ট বিন্দু এবং নতুন প্রাপ্ত ছেদবিন্দু দুটি মিলিয়ে মোট চারটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের পরিধিতে অবস্থান করবে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, এই নতুন বৃত্তটির ব্যাসার্ধ সর্বদা দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।

গাণিতিক প্রমাণের প্রথম পর্যায়ে দেখানো হয়েছে যে, নির্দিষ্ট চারটি বিন্দু বৃত্তস্থ কি না। এখানে ∠AOB + ∠BPA = 180° এবং ∠EOF + ∠FPE = 180° এর মাধ্যমে বিভিন্ন কোণের সম্পর্ক স্থাপন করা হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজগুলোর সর্বসমতা (congruence) যাচাই করে দেখা গেছে যে, ∠AOF, ∠COF, ∠BOE এবং ∠DOE এর মান সমান। এর ফলে প্রমাণিত হয় যে O, C, P, D বিন্দু চারটি একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত।

প্রমাণের দ্বিতীয় অংশে ব্যাসার্ধের সমতা যাচাই করা হয়েছে। নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 'r' এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 'R' ধরে ত্রিভুজ ODP এবং OAP-তে সাইন সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে। দেখা গেছে যে, OP / sin∠ODP = 2r এবং OP / sin∠OAP = 2R। যেহেতু ∠ODP এবং ∠OAP সমান, তাই 2r = 2R এবং পরিশেষে r = R প্রমাণিত হয়।

শিক্ষার্থীদের মাঝে গণিতের প্রতি আগ্রহ ও আনন্দ ছড়িয়ে দিতে 'গণিত ইশকুল' এই ধরনের গাণিতিক চিন্তাভাবনা ও সৃষ্টি আহ্বান জানাচ্ছে। বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটির সহযোগিতায় পরিচালিত এই উদ্যোগের সাথে যুক্ত হতে শিক্ষার্থীরা তাদের লেখা বা সৃজনশীল ভাবনা নির্দিষ্ট ইমেইল ও ফেসবুক পেজের মাধ্যমে পাঠাতে পারেন।